Pengertian Model Matematika

Model matematika adalah deskripsi abstrak dari sistem konkret dengan menggunakan konsep dan bahasa matematika. Proses pengembangan model matematika disebut pemodelan matematika. Model matematika digunakan dalam matematika terapan dan ilmu alam (misalnya fisika, biologi, ilmu bumi, kimia) dan disiplin ilmu teknik (misalnya ilmu komputer, teknik elektro), serta dalam sistem non-fisik seperti ilmu sosial. (seperti ekonomi, psikologi, sosiologi, ilmu politik). Matematika juga dapat diajarkan sebagai mata pelajaran mandiri .Penggunaan model matematika untuk memecahkan masalah dalam operasi komersial atau militer merupakan bagian besar dari bidang riset operasi.Model matematika juga digunakan dalam musik, linguistik dan filsafat (misalnya secara intensif dalam filsafat analitis). Sebuah model dapat membantu menjelaskan suatu sistem, menguji pengaruh berbagai komponen, dan membuat prediksi tentang perilaku.

Klasifikasi

Pemodelan matematika dapat dibagi menjadi beberapa kategori seperti: B. linier vs. nonlinier, statis vs. dinamis, eksplisit vs. implisit, diskrit vs. kontinu, deterministik vs.probabilistik (stokastik), deduktif, induktif atau geser dan strategis vs. non-strategis.Pertama, perbedaan antara model linier dan nonlinier bergantung pada jenis operator dalam model matematika. Model linier memiliki operator linier sedangkan model nonlinier memiliki operator nonlinier. Misalnya, dalam model statistik linier, hubungan parameter dianggap linier meskipun mungkin nonlinier dalam variabel prediktor.Hal yang sama berlaku untuk persamaan diferensial linier, yang masih dapat memiliki ekspresi nonlinier.Perbedaan model statis dan dinamis terletak pada perhitungan waktu.

Model dinamis merepresentasikan perubahan keadaan sistem dari waktu ke waktu, sedangkan model statis mengasumsikan bahwa sistem berada dalam keadaan setimbang dan tidak berubah seiring waktu.Lebih jauh lagi, perbedaan antara eksplisit dan implisit bergantung pada pengetahuan tentang parameter masukan. Suatu model dikatakan eksplisit jika seluruh parameter masukan diketahui dan keluarannya dapat dihitung dengan jumlah perhitungan yang terbatas.Sebaliknya, suatu model dikatakan implisit ketika parameter keluaran diketahui dan masukan yang bersangkutan harus diselesaikan melalui prosedur berulang.Pemodelan dapat bersifat diskrit atau kontinu, bergantung pada apakah objek direpresentasikan secara diskrit sebagai partikel dalam model molekul atau secara kontinu sebagai medan kecepatan fluida dalam pipa.Dalam model deterministik, setiap kombinasi nilai variabel ditentukan secara unik oleh parameter dan keadaan sebelumnya, sedangkan model stokastik menyertakan unsur keacakan dan variabel dijelaskan bukan oleh nilai unik tetapi oleh distribusi probabilitas.

Pemodelan deduktif didasarkan pada struktur logis dan berbasis teori, sedangkan pemodelan induktif didasarkan pada temuan empiris dan generalisasinya. Pemodelan mengambang tidak bergantung pada teori atau observasi dan hanya merupakan penerapan struktur yang diharapkan.Terakhir, model strategis dalam teori permainan berbeda karena model tersebut memodelkan agen dengan insentif yang tidak sesuai, seperti spesies yang bersaing atau penawar dalam lelang. Model strategis mengasumsikan bahwa para pemain adalah pengambil keputusan otonom yang secara rasional memilih tindakan yang memaksimalkan fungsi tujuan mereka. Tantangan utama ketika menggunakan model strategis adalah definisi dan kuantifikasi konsep solusi seperti ekuilibrium Nash. Model strategis mempunyai sifat menarik dalam memisahkan pemikiran tentang aturan main dari pemikiran tentang perilaku para pemain.

Konstruksi

Dalam bisnis dan teknik, model matematika dapat digunakan untuk memaksimalkan hasil tertentu. Sistem yang sedang dipertimbangkan memerlukan masukan tertentu. Hubungan antara input dan output sistem juga bergantung pada variabel lain: variabel keputusan, variabel keadaan, variabel eksogen dan variabel acak.Variabel keputusan terkadang disebut variabel independen. Variabel eksogen terkadang disebut parameter atau konstanta.Variabel-variabel tersebut tidak independen satu sama lain karena variabel keadaan bergantung pada keputusan, input, variabel acak dan eksogen.

Selain itu, variabel keluaran bergantung pada keadaan sistem (diwakili oleh variabel keadaan).Tujuan dan batasan suatu sistem dan penggunanya dapat direpresentasikan sebagai fungsi variabel keluaran atau variabel keadaan. Fungsi tujuan bergantung pada perspektif pengguna model. Tergantung pada konteksnya, fungsi tujuan juga disebut sebagai indeks kinerja karena merupakan salah satu ukuran yang menarik bagi pengguna.Meskipun tidak ada batasan jumlah fungsi tujuan dan batasan yang dapat dimiliki suatu model, penggunaan atau pengoptimalan model menjadi lebih kompleks (secara komputasi) seiring dengan bertambahnya jumlah fungsi tujuan.Misalnya, para ekonom sering menggunakan aljabar linier ketika menggunakan model input-output. Model matematika kompleks dengan banyak variabel dapat dikonsolidasikan menggunakan vektor, dimana satu simbol mewakili beberapa variabel.

Informasi apriori

Masalah pemodelan matematika sering diklasifikasikan ke dalam model kotak hitam atau model kotak putih, bergantung pada seberapa banyak informasi apriori tentang sistem yang tersedia. Model kotak hitam adalah sistem yang tidak tersedia informasi apriori. Model kotak putih (juga disebut kotak kaca atau kotak transparan) adalah sistem yang berisi semua informasi yang diperlukan. Dalam praktiknya, semua sistem berada di antara model kotak hitam dan kotak putih, sehingga konsep ini hanya berguna sebagai panduan intuitif saat memutuskan pendekatan mana yang akan diambil.Secara umum, yang terbaik adalah menggunakan informasi apriori sebanyak mungkin untuk membuat model lebih akurat.Oleh karena itu, model kotak putih umumnya dianggap lebih sederhana karena model berperilaku benar bila informasi digunakan dengan benar.

Informasi apriori sering kali datang dalam bentuk pengetahuan tentang jenis fungsi yang menghubungkan variabel berbeda. Misalnya, ketika kita memodelkan cara kerja suatu obat dalam sistem tubuh manusia, kita mengetahui bahwa jumlah obat dalam darah biasanya mengalami penurunan fungsi secara eksponensial. Namun masih adaparameter yang belum diketahui; Seberapa cepat jumlah obat berkurang dan berapa jumlah awal obat di dalam darah? Oleh karena itu, contoh ini bukanlah model kotak putih murni.

Parameter-parameter ini harus diestimasi dengan cara tertentu sebelum model dapat digunakan.Dalam model kotak hitam kami mencoba memperkirakan bentuk fungsional dari hubungan antara variabel dan parameter numerik dalam fungsi-fungsi ini. Misalnya, dengan menggunakan informasi apriori, kita dapat memperoleh serangkaian fungsi yang dapat mendeskripsikan sistem secara memadai. Jika tidak ada informasi apriori, kami mencoba menggunakan fungsi seumum mungkin untuk mencakup semua model yang berbeda.

Pendekatan yang umum digunakan untuk model kotak hitam adalahjaringan saraf tiruan, yang biasanya tidak membuat asumsi tentang data masukan.Alternatifnya, algoritma NARMAX (model rata-rata bergerak autoregresif nonlinier dengan masukan eksogen), dikembangkan sebagai bagian dari identifikasi sistem nonlinier, dapat digunakan untuk memilih istilah model, menentukan struktur model, dan memperkirakan parameter yang tidak diketahui dengan adanya gangguan nonlinier. linier dan berkorelasi. Keuntungan model NARMAX dibandingkan jaringan saraf adalah NARMAX menghasilkan model yang dapat ditulis dan dihubungkan ke prosesyang mendasarinya, sedangkan jaringan saraf menghasilkan perkiraan buram.

Disadur dari : en.wikipedia.org

Optimisasi Matematika

Optimasi matematika (atau disebut juga optimasi) atau pemrograman matematika adalah pemilihan elemen terbaik, dengan memperhatikan beberapa kriteria, dari beberapa alternatif yang tersedia. Secara umum, optimasi matematika dibagi menjadi dua subbidang: optimasi diskrit dan optimasi kontinu. Masalah optimasi muncul di semua disiplin ilmu kuantitatif mulai dari ilmu komputer dan teknik hingga riset operasi dan ekonomi, dan pengembangan metode solusi telah menjadi perhatian matematika selama berabad-abad.

Dalam pendekatan yang lebih umum, masalah optimasi terdiri dari memaksimalkan atau meminimalkan fungsi nyata dengan secara sistematis memilih nilai input dari dalam himpunan yang diizinkan dan menghitung nilai fungsi tersebut. Generalisasi teori dan teknik optimasi ke formulasi lain merupakan area yang luas dalam matematika terapan.

Sejarah

Fermat dan Lagrange menemukan formula berbasis kalkulus untuk mengidentifikasi titik optimum, sementara Newton dan Gauss mengusulkan metode iteratif untuk menuju titik optimum.

Istilah "pemrograman linier" untuk kasus optimasi tertentu adalah berkat George B. Dantzig, meskipun sebagian besar teorinya telah diperkenalkan oleh Leonid Kantorovich pada tahun 1939. (Pemrograman dalam konteks ini tidak mengacu pada pemrograman komputer, tetapi berasal dari penggunaan program oleh militer Amerika Serikat untuk merujuk pada jadwal pelatihan dan logistik yang diusulkan, yang merupakan masalah yang dipelajari Dantzig pada saat itu). Dantzig mempublikasikan algoritma Simplex pada tahun 1947, dan juga John von Neumann dan peneliti lainnya bekerja pada aspek teoritis pemrograman linier (seperti teori dualitas) pada waktu yang sama.

Peneliti penting lainnya dalam optimasi matematika termasuk yang berikut ini:

• Richard Bellman
• Dimitri Bertsekas
• Michel Bierlaire
• Stephen P. Boyd
• Roger Fletcher
• Martin Grötschel
• Ronald A. Howard
• Fritz John
• Narendra Karmarkar
• William Karush
• Leonid Khachiyan
• Bernard Koopman
• Harold Kuhn
• László Lovász
• David Luenberger
• Arkady Nemirovsky
• Yurii Nesterov
• Lev Pontryagin
• R. Tyrrell Rockafellar
• Naum Z. Shor
• Albert Tucker

Subbidang utama

• Pemrograman cembung mempelajari kasus ketika fungsi objektifnya cembung (minimisasi) atau cekung (maksimisasi) dan set batasannya cembung. Hal ini dapat dilihat sebagai kasus khusus pemrograman nonlinier atau sebagai generalisasi pemrograman kuadratik linier atau cembung.
• Pemrograman linier (LP), sebuah jenis pemrograman cembung, mempelajari kasus di mana fungsi objektif f adalah linier dan batasannya ditentukan hanya dengan menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linier. Himpunan kendala seperti itu disebut polihedron atau polytope jika dibatasi.
• Pemrograman kerucut orde dua (SOCP) adalah sebuah program cembung, dan mencakup beberapa jenis program kuadratik.
• Pemrograman semidefinit (SDP) adalah subbidang optimasi cembung di mana variabel-variabel yang mendasarinya adalah matriks semidefinit. Ini adalah generalisasi dari pemrograman kuadratik linier dan cembung.
• Pemrograman kerucut adalah bentuk umum dari pemrograman cembung. LP, SOCP, dan SDP semuanya dapat dilihat sebagai program kerucut dengan jenis kerucut yang sesuai.
• Pemrograman geometris adalah teknik di mana kendala objektif dan ketidaksetaraan yang dinyatakan sebagai posynomial dan kendala kesetaraan sebagai monomial dapat ditransformasikan ke dalam program cembung.
• Pemrograman bilangan bulat mempelajari program linier di mana beberapa atau semua variabel dibatasi untuk mengambil nilai bilangan bulat. Ini tidak cembung, dan secara umum jauh lebih sulit daripada pemrograman linier biasa.
• Pemrograman kuadratik memungkinkan fungsi objektif memiliki suku kuadratik, sementara himpunan layak harus ditentukan dengan persamaan dan ketidaksetaraan linier. Untuk bentuk tertentu dari suku kuadrat, ini adalah jenis pemrograman cembung.
• Pemrograman pecahan mempelajari optimasi rasio dari dua fungsi nonlinier. Kelas khusus program pecahan cekung dapat ditransformasikan menjadi masalah optimasi cembung.
• Pemrograman nonlinier mempelajari kasus umum di mana fungsi tujuan atau kendala atau keduanya mengandung bagian nonlinier. Ini mungkin atau mungkin bukan program cembung. Secara umum, apakah program tersebut cembung atau tidak, akan mempengaruhi tingkat kesulitan dalam menyelesaikannya.
• Pemrograman stokastik mempelajari kasus di mana beberapa kendala atau parameter bergantung pada variabel acak.
• Optimasi robust, seperti halnya pemrograman stokastik, merupakan upaya untuk menangkap ketidakpastian dalam data yang mendasari masalah optimasi. Optimasi kuat bertujuan untuk menemukan solusi yang valid di bawah semua kemungkinan realisasi ketidakpastian yang didefinisikan oleh himpunan ketidakpastian.
• Optimasi kombinatorial berkaitan dengan masalah-masalah di mana himpunan solusi yang layak adalah diskrit atau dapat direduksi menjadi diskrit.
• Optimasi stokastik digunakan dengan pengukuran fungsi acak (noisy) atau input acak dalam proses pencarian.
• Optimasi dimensi tak terbatas mempelajari kasus ketika himpunan solusi yang layak adalah subset dari ruang dimensi tak terbatas, seperti ruang fungsi.
• Heuristik dan metaheuristik membuat sedikit atau tidak ada asumsi tentang masalah yang dioptimalkan. Biasanya, heuristik tidak menjamin bahwa solusi optimal akan ditemukan. Di sisi lain, heuristik digunakan untuk menemukan solusi perkiraan untuk banyak masalah optimasi yang rumit.
• Pemenuhan batasan mempelajari kasus di mana fungsi objektif f adalah konstan (ini digunakan dalam kecerdasan buatan, terutama dalam penalaran otomatis).
• Pemrograman kendala adalah paradigma pemrograman di mana hubungan antar variabel dinyatakan dalam bentuk kendala.
• Pemrograman disjungtif digunakan di mana setidaknya satu kendala harus dipenuhi, tetapi tidak semua. Hal ini sangat berguna dalam penjadwalan.
• Pemetaan ruang adalah sebuah konsep untuk pemodelan dan optimasi sistem rekayasa untuk akurasi model dengan ketelitian tinggi (halus) yang mengeksploitasi model kasar atau model pengganti yang bermakna secara fisik yang sesuai.

Dalam sejumlah subbidang, teknik-teknik ini dirancang terutama untuk optimasi dalam konteks dinamis (yaitu, pengambilan keputusan dari waktu ke waktu):

• Kalkulus variasi Merupakan cabang dari optimasi dimensi tak terbatas yang berkaitan dengan menemukan cara terbaik untuk mencapai suatu tujuan, seperti menemukan permukaan yang batasnya adalah kurva tertentu, tetapi dengan luas area yang paling kecil.
• Teori kontrol optimal adalah generalisasi dari kalkulus variasi yang memperkenalkan kebijakan kontrol.
• Pemrograman dinamis adalah pendekatan untuk menyelesaikan masalah optimasi stokastik dengan parameter model yang bersifat stokastik, acak, dan tidak diketahui. Pendekatan ini mempelajari kasus di mana strategi optimasi didasarkan pada pemecahan masalah menjadi submasalah yang lebih kecil. Persamaan yang menggambarkan hubungan antara submasalah ini disebut persamaan Bellman.
• Pemrograman matematika dengan kendala keseimbangan adalah di mana kendala mencakup ketidaksetaraan variasi atau komplementaritas.

Optimalisasi multi-objektif

Menambahkan lebih dari satu tujuan pada masalah optimasi akan menambah kompleksitas. Sebagai contoh, untuk mengoptimalkan desain struktural, kita menginginkan desain yang ringan dan kaku. Ketika dua tujuan bertentangan, sebuah trade-off harus dibuat. Mungkin ada satu desain yang paling ringan, satu desain yang paling kaku, dan sejumlah desain yang tak terbatas yang merupakan kompromi antara berat dan kekakuan. Himpunan desain trade-off yang meningkatkan satu kriteria dengan mengorbankan kriteria lainnya dikenal sebagai himpunan Pareto. Kurva yang dibuat dengan memplotkan berat terhadap kekakuan dari desain terbaik dikenal sebagai batas Pareto.

Sebuah desain dinilai sebagai "Pareto optimal" (setara dengan "Pareto efisien" atau dalam himpunan Pareto) jika tidak didominasi oleh desain lainnya: Jika desain tersebut lebih buruk daripada desain lain dalam beberapa hal dan tidak lebih baik dalam hal apa pun, maka desain tersebut didominasi dan tidak optimal secara Pareto.

Pilihan di antara solusi "optimal Pareto" untuk menentukan "solusi favorit" didelegasikan kepada pengambil keputusan. Dengan kata lain, mendefinisikan masalah sebagai optimasi multi-objektif menandakan bahwa ada beberapa informasi yang hilang: tujuan yang diinginkan diberikan tetapi kombinasinya tidak dinilai secara relatif satu sama lain. Dalam beberapa kasus, informasi yang hilang dapat diperoleh melalui sesi interaktif dengan pengambil keputusan.

Masalah optimasi multi-objektif telah digeneralisasi lebih lanjut menjadi masalah optimasi vektor di mana urutan (parsial) tidak lagi diberikan oleh urutan Pareto.

Pengoptimalan multi-moda atau global

Masalah optimasi sering kali bersifat multi-modal; artinya, masalah tersebut memiliki beberapa solusi yang baik. Solusi-solusi tersebut dapat berupa solusi yang baik secara global (nilai fungsi biaya yang sama) atau bisa juga berupa solusi yang baik secara global dan solusi yang baik secara lokal. Mendapatkan semua (atau setidaknya beberapa) dari beberapa solusi adalah tujuan dari pengoptimal multi-modal.

Teknik optimasi klasik karena pendekatannya yang berulang-ulang tidak memberikan hasil yang memuaskan ketika digunakan untuk mendapatkan banyak solusi, karena tidak ada jaminan bahwa solusi yang berbeda akan diperoleh bahkan dengan titik awal yang berbeda dalam beberapa kali menjalankan algoritma.Pendekatan umum untuk masalah optimasi global, di mana beberapa ekstrema lokal mungkin ada termasuk algoritme evolusioner, optimasi Bayesian, dan simulated annealing.

Disadur dari : en.wikipedia.org

Maximum dan Minimum

Dalam analisis matematis, maksimum dan minimum suatu fungsi mengacu pada nilai terbesar dan terkecil yang dapat diambil oleh fungsi tersebut. Nilai-nilai ini, yang biasa disebut sebagai nilai ekstrem, dapat didefinisikan dalam dua konteks: pertama, dalam rentang tertentu, yang dikenal sebagai nilai ekstrem lokal atau relatif, dan kedua, dalam seluruh rentang fungsi, yang dikenal sebagai nilai ekstrem global atau absolut. Konsep ini diperkenalkan dan dikembangkan oleh ahli matematika awal, dengan Pierre deFermat menjadi salah satu orang pertama yang mengusulkan teknik umum dan cukup untuk mencari nilai maksimum dan minimum dalam konteks fungsi matematika.

Dalam teori himpunan, maksimum dan minimum suatu himpunan mengacu pada elemen terbesar dan terkecil dari himpunan tersebut. Perlu diperhatikan bahwa himpunan tak hingga, seperti himpunan bilangan real, tidak memiliki nilai minimum dan maksimum karena tidak ada elemen yang membatasi nilai terbesar atau terkecil.Dalam statistika, terdapat konsep terkait yang disebut maksimum dan minimum sampling, yang mengacu pada nilai terbesar dan terkecil dalam suatu sampel data. Sebagai bagian integral dari analisis statistik, pemahaman maksimum dan minimum sangat penting untuk menilai distribusi data dan tren umum dalam suatu populasi.

Mencari Nilai Minimum dan Maximum

Menemukan maxima dan minima global adalah tujuan optimasi matematis. Jika suatu fungsi kontinu dalam interval tertutup, maka menurut teorema nilai ekstrim terdapat maksimum global dan minimum global. Selain itu, maksimum (atau minimum) global harus merupakan maksimum (atau minimum) lokal dalam domain atau pada batas domain. Jadi metode mencari maksimum (atau minimum) global adalah dengan mengamati semua maksimum (atau minimum) lokal di dalamnya sertamaksimum (atau minimum) dari titik-titik pada batas dan menemukan yang terbesar (atau lebih kecil).

Untuk fungsi terdiferensiasi, teorema Fermat menyatakan bahwa ekstrem lokal dalam suatu wilayah harus terjadi pada titik kritis (atau titik yang turunannya sama dengan nol). Namun, tidak semua titik balik bersifat ekstrem. Kita sering kali dapat membedakan apakah suatu titik kritis merupakan maksimum lokal, minimum lokal, atau bukan keduanya dengan menggunakan uji turunan pertama, uji turunan kedua, atau uji turunan orde tinggi, dengan memperhatikan diferensiasi yang cukup.

Untuk setiap fungsi yang ditentukan oleh bagian-bagian, nilai maksimum (atau minimum) dapat ditemukan dengan mencari nilai maksimum (atau minimum) dari masing-masing bagian secara terpisah dan kemudian menentukan mana yang terbesar (atau terkecil).

Fungsi Lebih dari satu Variabel

Kondisi serupa berlaku untuk fungsi dengan lebih dari satu variabel. Misalnya, pada gambar (yang dapat diperbesar) di sebelah kanan, kondisi yang diperlukan untuk maksimum lokal serupa dengan kondisi untuk fungsi variabel tunggal. Turunan parsial pertama dari z (variabel yang akan dimaksimalkan) adalah nol pada maksimumnya (titik terang di bagian atas gambar). Turunan parsial kedua bernilai negatif. Ini hanyalah kondisi yang diperlukan, namun tidak cukup untuk mencapai maksimum lokal sebesarkarena mungkin terdapat titik pelana.Agar kondisi ini dapat diselesaikan secara optimal, fungsi z juga harus terdiferensiasi sempurna. Uji turunan parsial kedua dapat membantu mengklasifikasikan titik tersebut sebagai maksimum relatif atau minimum relatif. Sebaliknya, terdapat perbedaan yang signifikan antara peran satu variabel dan peran beberapa variabel dalam mengidentifikasi kondisi ekstrem global. Misalnya, jika fungsi terdiferensiasi hingga f yang didefinisikan pada interval tertutup pada garis nyata mempunyai titik kritisyang merupakan minimum lokal, maka fungsi tersebut juga merupakan minimum global (gunakan teorema nilai antara dan teorema Rolle untuk membuktikannya) . dengan kontradiksi). Dalam dua dimensi atau lebih argumen ini gagal.Hal ini tercermin dari fungsinya.

yang titik kritisnya hanya di (0,0), yang merupakan minimum lokal dengan f (0,0) = 0. Namun, tidak bisa menjadi minimum global, karena f (2,3) = −5.

Maxima atau minima dari suatu fungsi

Jika jangkauan suatu fungsi yang ekstremnya dicari terdiri dari fungsi itu sendiri (yaitu jika ekstrem suatu fungsi dapat ditemukan), maka ekstremnya ditemukan dengan kalkulus variasi.

Sehubungan dengan himpunan

Paragraf tersebut menjelaskan konsep maxima dan minima dalam konteks himpunan terurut. Jika suatu himpunan terurut S mempunyai m anggota terbesar, maka m disebut anggota maksimum himpunan tersebut, ditulis maks(S). Jika S adalah himpunan bagian dari himpunan terurut T dan m adalah elemen terbesar dari S dengan keteraturan karena T, maka m adalah batas atas terkecil dari S dalam T. Konsep serupa berlaku untuk elemen terkecil, elemen minimal, dan elemen terkecil. elemen bawah terbesar. melompat.

Fungsi maksimum dan minimum untuk himpunan digunakan dalam database dan dapat dihitung dengan cepat menggunakan partisi.Dalam pengurutan parsial umum, elemen terkecil dan elemen minimal tidak boleh tertukar. Dalam himpunan terurut sebagian (poset), elemen terbesar adalah batas atas himpunan, sedangkan elemen maksimum m dari sebuah poset A memenuhi m ≤ b untuk setiap b di A, dan jika m ≤ b maka m = b. Elemen terkecil atau terbesar dari sebuah poset adalah unik, tetapi sebuah poset dapat memiliki beberapa elemen minimum atau maksimum.

Dalam himpunan terurut lengkap, himpunan tersebut dapat mempunyai paling banyak satu elemen minimum dan satu elemen maksimum. Pada himpunan terurut sempurna, elemen minimum adalah elemen terkecil dan elemen maksimum adalah elemen terbesar.Jika rantainya berhingga, maka selalu mempunyai maksimum dan minimum. Jika rantainya tidak terbatas, maka tidak harus memiliki maksimum atau minimum. Misalnya himpunan bilangan asli tidak mempunyai nilai maksimum, namun mempunyai nilai minimum. Jika suatu rantai tak terhingga S dibatasi, penutupan Cl(S) dari himpunan tersebut dapat mempunyai minimum dan maksimum, yang disebut batas bawah terbesar dan batas atas terkecil dari S.

Disadur dari: en.wikipedia.org

Jakarta, CNBC Indonesia - Aqua adalah salah satu merk dagang air minum kemasan yang paling terkenal di tengah konsumen Indonesia. Produknya sangat beragam, mulai dari air kemasan gelas, botol kecil dan besar, hingga galon.

Aqua menyediakan pula 2 jenis produk, yakni galon Aqua kosong dan galon Aqua yang sudah terisi air minum.

Aqua kemasan galon adalah produk yang mempunyai volume terbesar diantara seluruh produk Aqua lainnya. Untuk skala rumah tangga, produk ini cocok dipergunakan untuk memenuhi kebutuhan air minum semua anggota keluarga.

Pertanyaannya, berapa liter dalam satu galon Aqua? Pertanyaan ini cukup sering ditanyakan. Mungkin terdengarnya sepele, tetapi nyatanya mengetahui volume galon akan sangat membantu dalam mencukupi kebutuhan air minum di rumah.

Satuan Galon

Sebelum membahas lebih lanjut tentang Aqua galon itu berapa liter, penting bagi Anda untuk mengetahui terlebih dahulu tentang satuan galon. Hal ini disebabkan galon sejatinya bukanlah nama resmi dari sebuah wadah air yang umum digunakan untuk menampung air mineral isi ulang.

Apabila menilik dari sisi kebahasaan, galon berasal dari kata "galun" dalam bahasa Prancis. Galon juga biasa disebut sebagai "gellet" dalam bahasa Inggris Kuno dan juga "jale" dalam bahasa Perancis Kuno.

Dilansir dari Science Trends, galon merujuk pada satuan ukur volume yang disingkat "gal". Tetapi nilai galon berbeda-beda di beberapa negara sehingga tak ditetapkan sebagai satuan baku untuk volume.

Walaupun demikian, satuan tersebut banyak digunakan di Amerika Serikat dan beberapa negara di Eropa Barat. Menurut standar Amerika Serikat, satu galon setara dengan 3,79 liter air. Sedangkan di Inggris dan Kanada, satu galon sama dengan 4,546 liter air.

Sebagai tambahan informasi, liter biasanya dipergunakan untuk mengukur volume barang yang disesuaikan dengan ukuran wadahnya, seperti cairan atau kumpulan padatan kecil yang bisa dituangkan dari satu wadah ke wadah lainnya.

Satu Galon Aqua Berapa Liter?

Lantas, satu galon Aqua terdapat berapa liter? Merk Aqua mempunyai standar tersendiri terkait volume isi dari air galon yang diproduksi oleh perusahaan mereka.

Satu galon Aqua isinya 19 liter air minum. Dengan volume sebesar ini, air kemasan galon cocok untuk konsumen rumah tangga.

Apabila dikonversikan ke dalam satuan kilogram, 1 liter setara dengan 1 kilogram. Artinya, berat Aqua galon yang berisikan 19 liter minimal ialah 19 kilogram.

Tetapi perhitungan tersebut belum termasuk dengan bobot galon itu sendiri. Jadi, bila di total secara keseluruhan, berat Aqua galon bisa mencapai lebih dari 19 kilogram.

Disadur dari sumber cnbcindonesia.com

Kursus online yang dirancang untuk partisipasi tidak terbatas dan akses terbuka melalui Web dikenal sebagai kursus online terbuka besar-besaran (MOOC /muːk/) atau kursus online terbuka. Banyak MOOC menawarkan kursus interaktif dengan forum pengguna atau diskusi media sosial untuk mendukung interaksi komunitas di antara mahasiswa, profesor, dan asisten pengajar (TA), selain materi kursus tradisional seperti bacaan, rangkaian masalah, dan rekaman ceramah. Kursus-kursus ini juga sering kali memberikan umpan balik langsung pada kuis dan tugas singkat. Pertama kali didirikan pada tahun 2008, MOOCs adalah kemajuan yang telah diteliti dengan baik dalam pendidikan online dan mendapatkan popularitas pada tahun 2012. Tahun 2012 dijuluki sebagai "Tahun MOOC" karena popularitasnya yang meningkat.

Untuk mendorong penggunaan kembali dan pencampuran sumber daya, MOOCs awal (cMOOCs: Connectivist MOOCs) sering kali menekankan pada karakteristik akses terbuka termasuk materi, struktur, dan tujuan pembelajaran yang dilisensikan secara bebas. MOOC tertentu yang diperluas, sering dikenal sebagai xMOOC, menerapkan lisensi terbatas untuk materi pelajarannya namun tetap mengizinkan siswa untuk mengaksesnya secara gratis.

Sejarah

• Prekursor

Sebelum munculnya era digital, pembelajaran jarak jauh pertama kali berbentuk kursus korespondensi pada tahun 1890-an dan 1920-an, diikuti oleh kursus yang disiarkan di radio dan televisi serta pengulangan pertama e-learning. Kurang dari lima persen siswa biasanya menyelesaikan suatu kursus. Misalnya, Program Koperasi Stanford Honors yang didirikan pada tahun 1954 pada akhirnya menyediakan seminar video di tempat bisnis pada malam hari, yang berpuncak pada gelar Master yang diakui sepenuhnya. Karena perusahaan membayar dua kali lipat biaya kuliah standar yang biasanya dibayarkan oleh siswa penuh waktu, inisiatif ini menimbulkan kontroversi. Online, atau e-learning dan pendidikan jarak jauh, mengalami perubahan pada tahun 2000an dengan munculnya MOOC, peningkatan kehadiran online, dan pilihan pembelajaran terbuka. Jutaan orang menonton kursus perguruan tinggi terpopuler pada tahun 2010, seperti "Anatomi Manusia" dengan Marian Diamond dan "Keadilan" dengan Michael J. Sandel.

• Pendekatan awal

Inisiatif MIT OpenCourseWare menjadi pendorong gerakan sumber daya pendidikan terbuka (OER), yang memunculkan MOOC pertama. Temuan peneliti bahwa tidak ada korelasi yang jelas antara ukuran kelas dan hasil belajar menjadi pendorong gerakan pendidikan terbuka. Karya Daniel Barwick adalah contoh yang paling sering disebutkan dalam kasus ini.

Wikiversity didirikan pada tahun 2006 sebagai bagian dari gerakan Pendidikan Terbuka, dan kursus terbuka pertama platform tersebut diadakan pada tahun 2007. Gagasan untuk menjadikan Wikiversity sebagai platform pendidikan terbuka dan gratis sejalan dengan gerakan sekolah gratis, Sekolah Menengah Rakyat, dan Pendidikan orang dewasa gratis di Skandinavia diuji dalam kursus sepuluh minggu dengan lebih dari tujuh puluh siswa. Pada tahun 2008, Dave Cormier dari Universitas Prince Edward Island menciptakan istilah MOOC sebagai reaksi terhadap mata kuliah bertajuk Konektivisme dan Pengetahuan Konektif (CCK08). Di bawah arahan George Siemens dari Universitas Athabasca dan Stephen Downes dari Dewan Riset Nasional, CCK08 menyertakan hampir 2.200 mahasiswa online gratis dari masyarakat umum selain 25 mahasiswa Pendidikan Lanjutan yang membayar biaya kuliah dari Universitas Manitoba. Pembelajar online dapat terlibat dengan materi kursus melalui RSS feed dan teknologi kolaboratif termasuk percakapan threaded Moodle, pertemuan Second Life, dan entri blog. Menurut pendapat Stephen Downes, xMOOC baru "menyerupai acara televisi atau buku teks digital" dan kurang "kreatif dan dinamis" dibandingkan apa yang disebut cMOOC.

• cMOOC dan xMOOC

Beberapa ide tentang MOOC tampaknya telah berkembang seiring berjalannya waktu seiring dengan berkembangnya platform. Seringkali kita dapat membedakan dua jenis: mata kuliah yang menekankan filosofi konektivis dan mata kuliah yang menyerupai mata kuliah konvensional. Sebutan "cMOOC" dan "xMOOC" dikembangkan oleh beberapa pengguna platform awal untuk membedakan keduanya.

Ide pedagogi konektivis, yang menekankan agregasi konten (sebagai lawan dari pra-seleksi), kemampuan untuk diremix, kemampuan untuk digunakan kembali, dan pemberian masukan (yaitu, pengembangan materi harus berorientasi pada pembelajaran di masa depan), membentuk dasar cMOOCs. Tujuan dari teknik desain pembelajaran cMOOC adalah untuk menghubungkan siswa satu sama lain sehingga mereka dapat bekerja sama dalam proyek atau menemukan jawaban atas masalah. Hal ini mungkin termasuk memberikan penekanan yang kuat pada pengembangan kolaboratif MOOC. MOOC konektivis, menurut Andrew Ravenscroft dari London Metropolitan University, memfasilitasi diskusi kelompok dan pengembangan pengetahuan dengan lebih baik.

xMOOCs memiliki format yang jauh lebih konvensional untuk kursusnya. Mereka dibedakan berdasarkan tujuan yang jelas untuk menyelesaikan kursus dan mendapatkan sertifikasi materi pelajaran pada tingkat tertentu. Biasanya, kurikulum video ceramah dan tugas penilaian diri yang jelas diberikan kepada mereka. Namun, untuk mengakses materi dan sertifikasi yang dinilai, beberapa pemasok meminta Anda membayar keanggotaan. Mereka menggunakan komponen MOOC asli, tetapi pada dasarnya mereka adalah platform TI bermerek yang menyediakan kemitraan bagi universitas untuk penyampaian materi. Guru adalah sumber pengetahuan, dan sebagian besar interaksi siswa terdiri dari saling membantu dan menawarkan saran mengenai topik-topik yang menantang.

Munculnya penyedia MOOC

The New York Times mengklaim bahwa tahun 2012 menjadi "tahun MOOC" karena munculnya beberapa perusahaan yang memiliki pendanaan besar dan terhubung dengan institusi bergengsi, seperti edX, Udacity, dan Coursera. Pada awal tahun 2013, CEO Instruktur Josh Coates memberikan saran bahwa MOOC sedang mengalami siklus hype, dengan ekspektasi yang berayun liar, selama presentasi di SXSWedu. Argumen tersebut kemudian ditegaskan kembali oleh Dennis Yang, Presiden penyedia MOOC Udemy, dalam sebuah artikel untuk The Huffington Post.

Dalam apa yang disebut sebagai "penyerbuan", perguruan tinggi lain segera terlibat dalam "hal besar berikutnya", seperti yang dilakukan perusahaan layanan pendidikan online terkemuka seperti Blackboard Inc. Banyak institusi akademis di Eropa, Asia, Kanada, dan Meksiko telah mengumumkan kolaborasi dengan penyedia MOOC besar AS. Awal tahun 2013, kekhawatiran mengenai akademisi yang "dikeluarkan MOOC" mulai muncul. Penyelidikan lebih lanjut memverifikasi kecenderungan ini di kemudian hari.

Industri ini unik karena terdiri dari entitas yang saling berhubungan, seperti universitas, pemodal ventura, bisnis afiliasi, penyedia MOOC, dan sektor nirlaba yang lebih luas. Menurut Chronicle of Higher Education, pemasok utamanya adalah perusahaan nirlaba Udacity dan Coursera serta organisasi nirlaba Khan Academy dan edX. American Council on Education, National Science Foundation, MacArthur Foundation, dan Bill & Melinda Gates Foundation adalah beberapa organisasi nirlaba yang lebih besar. Stanford, Harvard, MIT, University of Pennsylvania, Caltech, University of Texas di Austin, University of California di Berkeley, dan San Jose State University adalah beberapa contoh universitas yang memelopori pendidikan. Bisnis terkait yang membiayai MOOC termasuk Pearson PLC, penyedia materi pendidikan, dan Google. Kleiner Perkins Caufield & Byers, New Enterprise Associates, dan Andreessen Horowitz adalah beberapa pemodal ventura.

Pengalaman siswa dan pedagogi

• Siswa dilayani

Lebih dari 1,5 juta orang telah mendaftar untuk kursus di Coursera, Udacity, atau edX pada bulan Juni 2012. Jumlah siswa yang terdaftar pada tahun 2013 tampaknya beragam, luas, dan non-tradisional, namun sebagian besar terdiri dari penutur bahasa Inggris dari negara-negara kaya . Sekitar 2,8 juta siswa telah mendaftar di Coursera pada bulan Maret 2013. Pendaftaran di Coursera telah melampaui 5 juta pada bulan Oktober 2013, sementara edX secara terpisah telah mencapai 1,3 juta.

• Pengalaman pendidik

Pada tahun 2013, 103 akademisi yang pernah mengajar MOOC disurvei oleh Chronicle of Higher Education. Meskipun persiapan pra-kelas beberapa instruktur hanya "beberapa puluh jam", "seorang profesor biasanya menghabiskan lebih dari 100 jam pada MOOC-nya bahkan sebelum dimulai, dengan merekam video kuliah online dan melakukan persiapan lainnya." Setelah itu, instruktur mengerjakan kursus tersebut selama delapan hingga sepuluh jam seminggu, termasuk berkontribusi pada papan diskusi.

Mediannya adalah 2.600 siswa yang lulus, 33.000 siswa terdaftar, dan satu asisten pengajar yang membantu di kelas. 34% kursus menggunakan penilaian sejawat, sementara 74% kelas menggunakan penilaian otomatis. Video asli digunakan oleh 97% guru, materi pendidikan terbuka digunakan oleh 75%, dan sumber daya lainnya digunakan oleh 27%. Dalam 9% kursus, diperlukan buku teks cetak, dan dalam 5%, versi elektronik.

• Tingkat penyelesaian

MOOC mempunyai kekhawatiran yang besar terhadap angka putus sekolah dan angka putus sekolah, meskipun mereka berjanji untuk meningkatkan pembelajaran dan pendidikan. Hanya persentase yang relatif kecil dari siswa yang mendaftar pada kursus tersebut yang berhasil menyelesaikannya, meskipun faktanya jumlah pendaftaran untuk kursus tersebut sering kali berkisar ribuan. Meskipun pendaftaran telah mencapai nilai sekitar 230.000, MOOC yang diperiksa memiliki rata-rata pendaftaran sebesar 25.000, menurut visualisasi dan analisis yang dilakukan oleh Katy Jordan (2015). Menurut Jordan, MOOC ini memiliki tingkat penyelesaian rata-rata 15%. Tingkat penyelesaian sebesar 7–9% ditunjukkan oleh statistik awal dari Coursera. Menurut Coffrin dkk. (2012), terdapat penurunan yang stabil dan nyata dalam jumlah siswa yang mengikuti kursus setiap minggunya, dan tingkat penyelesaiannya jauh lebih rendah (antara 3 dan 5%). Tingkat gesekan yang sebanding dengan Coffrin juga telah dilaporkan oleh orang lain. Sebagai contoh, perhatikan mata kuliah Bioelektrik di Duke University pada musim gugur tahun 2012. Dari 12.725 mahasiswa yang mendaftar, hanya 7.761 yang menonton videonya, 3.658 mencoba kuis, 345 mencoba ujian akhir, dan 313 lulus dan menerima sertifikat. Tingkat penyelesaian bagi siswa yang membayar $50 untuk sebuah fitur (yang dimaksudkan untuk menghentikan kecurangan dalam ujian) adalah sekitar 70%. Menurut Yang dkk. (2013), atrisi terjadi seiring berjalannya waktu karena, meskipun terdapat fakta bahwa sebagian besar siswa meninggalkan suatu mata pelajaran lebih awal karena berbagai alasan, sejumlah besar siswa tetap mengikuti mata pelajaran tersebut dan keluar kemudian.

• Desain instruksional

Banyak MOOC yang memanfaatkan video ceramah, yang menggabungkan teknologi modern dengan metode pengajaran kuno yang disebut ceramah. Pada sidang Dewan Penasihat Presiden bidang Sains dan Teknologi (PCAST), Thrun mengatakan bahwa MOOC "kursus 'dirancang untuk menjadi tantangan,' bukan ceramah, dan jumlah data yang dihasilkan dari penilaian ini dapat dievaluasi 'secara besar-besaran menggunakan pembelajaran mesin' sedang bekerja di belakang layar." Dia mengatakan bahwa strategi ini mematahkan “rangkaian mitos abad pertengahan” yang menentukan efektivitas guru dan hasil siswa dan menggantikannya dengan pendekatan pendidikan “modern, berbasis data,” dan berbasis bukti yang berpotensi menjadi katalis bagi “transformasi mendasar.” pendidikan” itu sendiri.

Disadur dari:

https://en.wikipedia.org

Sistem nonlinier

Sistem nonlinier dalam matematika dan sains adalah sistem yang perubahan keluarannya tidak sebanding dengan perubahan masukan. Masalah nonlinier menarik perhatian para insinyur, ahli biologi, fisikawan, matematikawan, dan ilmuwan lain karena sebagian besar sistem pada dasarnya bersifat nonlinier. Sistem nonlinier dalam matematika dapat dijelaskan dengan sistem persamaan nonlinier, yaitu kumpulan persamaan simultan yang variabel-variabelnya tidak diketahui muncul sebagai variabel polinomial berderajatlebih besar dari satu atau sebagai argumen fungsi yang bukan polinomial berderajat satu. Karena persamaan dalam sistem nonlinier tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari variabel atau fungsi yang tidak diketahui yang muncul di dalamnya, sistem tersebut dapat dianggap nonlinier meskipun fungsi linier yang diketahui muncul dalam persamaan tersebut.

Secara umum, suatu persamaan diferensial dianggap linier jika persamaan tersebut linier terhadap fungsi yang tidak diketahui dan turunannya, meskipun persamaan tersebut mungkin nonlinier terhadapvariabel lain yang muncul di dalamnya.Karena persamaan diferensial dinamis nonlinier sulit diselesaikan, sistem nonlinier biasanya didekati dengan persamaan linier (linierisasi). Ini bekerja dengan baik hingga tingkat presisi dan rentang nilai masukan tertentu, tetapi beberapa fenomena menarik seperti soliton, chaos, dan singularitas disembunyikan oleh linearisasi. Oleh karena itu, beberapa aspek perilaku dinamis sistem nonlinier mungkin tampak berlawanan dengan intuisi, tidak dapat diprediksi, atau bahkan kacau. Meskipun perilaku kacaumungkin menyerupai perilaku acak, sebenarnya perilaku tersebut tidak acak. Misalnya, beberapa aspek iklim tampak kacau, dengan perubahan sederhana pada satu bagian sistem mempunyai dampak kompleks pada keseluruhan sistem.Ketidaklinieran ini adalah salah satu alasan mengapa perkiraan jangka panjang yang akurat tidak mungkin dilakukan dengan teknologi saat ini.

Persamaan aljabar nonlinier

Persamaan aljabar nonlinier, disebut juga persamaan polinomial, didefinisikan dengan menyamakan polinomial (yang derajatnya lebih besar dari satu) menjadi nol. Sebagai contoh,

Algoritme pencarian akar dapat digunakan untuk mencari solusi unik persamaan polinomial (yaitu himpunan nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut). Namun, sistem persamaan aljabar lebih kompleks; Studinya menjadi motivasi untuk bidang geometri aljabar, cabang matematika modern yang sulit. Sulit juga menentukan apakah sistem aljabar mempunyai solusi kompleks (lihat teorema nol Hilbert). Namun, untuk sistem dengan jumlah solusi kompleks yang terbatas,sistem persamaan polinomial ini sekarang telah dipahami dengan baik dan terdapat metode yang efisien untuk menyelesaikannya.

Hubungan perulangan nonlinier

Relasi perulangan nonlinier mendefinisikan barisan suku-suku dalam suatu barisan sebagai fungsi nonlinier dari suku-suku sebelumnya. Contoh hubungan perulangan nonlinier mencakup peta logistik dan hubungan yang menentukan berbagai rangkaian Hofstadter. Model nonlinier diskrit, yang mewakili kelas luas hubungan perulangan nonlinier, mencakup model NARMAX (Nonlinear Autoregressive Moving Average dengan Input Eksogen) dan metode terkait untuk mengidentifikasi dan menganalisis sistem nonlinier.Pendekatan ini dapat digunakan untuk mempelajari berbagai perilaku nonlinier kompleks dalam domain waktu, frekuensi, dan spatiotemporal.

Persamaan diferensial nonlinier

Suatu sistem persamaan diferensial tergolong nonlinier jika bukan merupakan sistem persamaan linier. Masalah persamaan diferensial nonlinier sangat beragam dan cara penyelesaiannya bergantung pada sifat masalahnya. Persamaan Navier-Stokes dalam dinamika fluida dan persamaan Lotka-Volterra dalam biologi merupakan contoh persamaan diferensial nonlinier. Tantangan terbesar dalam permasalahan nonlinier adalah sulitnya menggabungkan solusi yang sudah diketahui menjadi solusi baru karena tidak adanya prinsip superposisi seperti pada permasalahan linier. Meskipun beberapa solusi khusus dapat ditemukan untuk persamaan nonlinier, prinsip superposisi yang buruk menyulitkan pembuatan solusi baru.

Persamaan diferensial parsial

Saat mempelajari persamaan diferensial parsial nonlinier, pendekatan dasar yang paling umum adalah mengubah variabel (atau soal) sehingga soal yang dihasilkan lebih sederhana, mungkin linier. Terkadang persamaan tersebut dapat diubah menjadi satu atau lebih persamaan diferensial biasa, seperti dalam metode pemisahan variabel, yang selalu berguna terlepas dari apakah persamaan diferensial biasa yang dihasilkan mempunyai solusi atau tidak.Taktik lain yang umum, meskipun kurang matematis, yang sering digunakan dalam mekanika termal dan fluida adalah melakukan analisis penskalaan untuk menyederhanakan persamaan natural umum dalam masalah nilai batas tertentu.

Misalnya, dalam kasus aliran satu dimensi, laminar, transien dalam pipa melingkar, persamaan Navier-Stokes yang sangat nonlinier dapat disederhanakan menjadi persamaan diferensial parsial linier; Analisis penskalaan memberikan kondisi di mana aliran bersifat laminar dan satu dimensi serta menghasilkan persamaan yang disederhanakan.Metode lainnya adalah mempelajari sifat-sifat dan menerapkan metode persamaan diferensial biasa yang dijelaskan di atas.

Disadur dari : en.wikipedia.org