Dalam dunia industri yang bergerak cepat, perusahaan tidak punya waktu menunggu bertahun-tahun hanya untuk mengetahui seberapa tahan produk mereka. Di sinilah metode Accelerated Life Test (ALT) menjadi kunci. ALT mempercepat kerusakan produk dalam kondisi ekstrim untuk memprediksi daya tahan produk dalam waktu normal. Tapi, bagaimana cara memilih model distribusi statistik yang paling tepat untuk menggambarkan umur produk?
Studi terbaru ini membahas pemanfaatan Distribusi Lindley dalam Step-Stress Accelerated Life Testing (SSALT) berbasis data nyata dan simulasi numerik, dilengkapi dengan teknik censored sample Type II secara progresif. Penelitian ini juga membandingkan performa distribusi Lindley dengan model klasik dua parameter Weibull.
Distribusi Lindley: Alternatif Fleksibel di Era Keandalan Tinggi
Distribusi Lindley, diperkenalkan oleh D.V. Lindley, merupakan gabungan dari distribusi eksponensial dan gamma. Dalam penelitian ini, Lindley terbukti mampu memodelkan data lifetime secara lebih fleksibel dibandingkan distribusi eksponensial dan Weibull, terutama karena keunggulannya dalam menangani tingkat risiko meningkat (increasing hazard rate).
Fungsi kepadatan probabilitas (PDF) Lindley ditulis:
f(z) = ψ2(1+z)e(−ψz)/(1+ψ)ψ²(1 + z) e^(-ψz) / (1 + ψ) untuk z > 0 dan ψ > 0
Distribusi ini banyak digunakan di bidang rekayasa keandalan, farmasi, biologi, bahkan ekonomi.
Model Step-Stress ALT dengan Censored Data Type II
Dalam SSALT, produk diuji di bawah dua level tekanan. Setelah waktu tertentu η, tekanan ditingkatkan, dan distribusi Lindley digunakan untuk memodelkan waktu kerusakan. Jenis data yang digunakan adalah Type II Progressive Censoring, yang mengakhiri eksperimen setelah sejumlah unit gagal, bukan berdasarkan waktu tetap.
Untuk mempercepat waktu kerusakan, digunakan Tampered Random Variable (TRV) model:
Z = { z jika z ≤ η, η + (z − η)/ζ jika z > η }
Dengan ζ adalah faktor percepatan.
Estimasi Parameter: MLE vs Bayes
1. Maximum Likelihood Estimation (MLE)
MLE digunakan untuk mengestimasi parameter ψ (skala) dan ζ (faktor akselerasi). Rumus log-likelihood yang kompleks dipecahkan menggunakan perangkat lunak Mathematica 11.
2. Bayesian Estimation (BE)
Dengan pendekatan Bayesian dan loss function simetris, penelitian ini menghasilkan estimasi yang lebih akurat dibandingkan MLE, terutama pada ukuran sampel kecil. Metode ini menggunakan distribusi gamma sebagai prior dan pendekatan Metropolis–Hastings (MCMC) untuk estimasi numerik.
Tiga Jenis Interval Estimasi Parameter
- Approximate Confidence Interval (ACI)
- Bootstrap Confidence Interval
- Credible Interval (Bayesian)
Dari hasil simulasi dan aplikasi nyata, credible interval terbukti paling sempit dan memiliki probabilitas cakupan tertinggi.
Aplikasi Dunia Nyata: Uji Umur Lampu Pijar
Penelitian ini menguji 64 lampu pijar dengan tegangan awal 2.25V selama 96 jam, kemudian dinaikkan ke 2.44V. Data dikumpulkan dengan progressive censoring, di mana 11 lampu dihapus sebelum gagal, menghasilkan 53 unit gagal (n1 = 34) pada stress pertama dan sisanya pada stress kedua.
Hasil pengujian goodness-of-fit menggunakan Kolmogorov–Smirnov (K-S) yang dimodifikasi menunjukkan bahwa Distribusi Lindley lebih unggul dari Weibull:
Berdasarkan hasil uji goodness-of-fit, distribusi Lindley menunjukkan kecocokan yang lebih baik dibandingkan Weibull pada kedua level stress. Pada level stress 2.25V, p-value Lindley sebesar 0.0563 masih berada di atas ambang signifikansi umum, sedangkan p-value Weibull sangat kecil yaitu 5.7 × 10⁻²⁰, menandakan ketidaksesuaian model. Sementara itu, pada level stress 2.44V, kedua distribusi memberikan p-value tinggi (Lindley: 0.789; Weibull: 0.912), tetapi Lindley tetap memberikan hasil yang lebih stabil di kedua kondisi stress.
Estimasi Parameter dari Data Nyata
Parameter MLE yang diperoleh:
- ψ = 0.0230107
- ζ = 2.80211
Dengan parameter akselerasi model (a = −51.8084, b = 59.2364), diperoleh skala parameter pada kondisi normal:
θ₀ = e^(a + b ln(S₀)) = 0.0000214702
Estimasi Keandalan di Kondisi Normal:
- MTTF (Mean Time to Failure): 93.151,3 jam
- Fungsi hazard:
h(z) = ((1 + z)θ₀²) / [θ₀(1 + θ₀ + zθ₀)] - Fungsi keandalan:
R(z) = (1 + θ₀z / (1 + θ₀)) e^(-θ₀z)
Hasil Simulasi dan Temuan Penting
Simulasi dilakukan dengan berbagai ukuran sampel (n = 20–165), dan disimpulkan:
- Bayesian Estimation (BE) menghasilkan MSE lebih kecil dibandingkan MLE.
- Credible interval memiliki cakupan tertinggi dan panjang paling pendek, menjadikannya metode paling andal.
- Hasil akurat tercapai lebih cepat pada ukuran sampel besar.
- Bootstrap CIs sedikit lebih akurat dari ACI, tapi tetap di bawah credible CIs.
Analisis Kritis & Relevansi Industri
🔍 Kekuatan Penelitian:
- Menggunakan data nyata dan simulasi secara bersamaan.
- Metodologi lengkap dari MLE, Bayes, hingga interval estimasi.
- Perbandingan langsung dengan distribusi Weibull memperkuat argumen superioritas Lindley.
⚠️ Kelemahan:
- Kompleksitas perhitungan tinggi, membutuhkan software statistik khusus.
- Terbatas pada dua level stress; mungkin kurang fleksibel untuk produk multi-stage failure.
🔧 Rekomendasi:
- Perluasan ke step-stress bertingkat tiga atau lebih.
- Pengujian lebih lanjut pada produk elektronik, baterai, dan perangkat medis.
Kesimpulan
Artikel ini berhasil menunjukkan bahwa penggunaan Distribusi Lindley dalam SSALT adalah solusi efektif dan efisien dalam mengukur daya tahan produk dengan data censored. Penelitian membuktikan bahwa metode Bayesian Estimation, ditambah dengan credible interval, memberikan hasil estimasi parameter yang lebih akurat dan andal. Dalam konteks industri, pendekatan ini menghemat waktu dan biaya, sambil tetap menjaga keandalan estimasi untuk pengambilan keputusan kritis seperti jaminan produk dan manajemen risiko. Dengan keunggulan fit statistik yang lebih baik daripada Weibull, Lindley distribution bisa menjadi model pilihan utama untuk uji umur produk ke depan, terutama di era manufaktur presisi dan produk berteknologi tinggi.
Sumber Asli : E. H. Hafez, Fathy H. Riad, Sh. A. M. Mubarak, dan M. S. Mohamed – Study on Lindley Distribution Accelerated Life Tests: Application and Numerical Simulation, Symmetry 2020, 12, 2080.