Finite element method
Metode elemen hingga (FEM) adalah metode yang populer untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang muncul dalam bidang teknik dan pemodelan matematika secara numerik. Bidang masalah yang umum diminati meliputi bidang tradisional analisis struktural, perpindahan panas, aliran fluida, transportasi massa, dan potensial elektromagnetik.
FEM adalah metode numerik umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dalam dua atau tiga variabel ruang (yaitu, beberapa masalah nilai batas). Untuk menyelesaikan masalah, FEM membagi sistem yang besar menjadi bagian-bagian yang lebih kecil dan lebih sederhana yang disebut elemen hingga. Hal ini dicapai dengan diskritisasi ruang tertentu dalam dimensi ruang, yang diimplementasikan dengan konstruksi mesh objek: domain numerik untuk solusi, yang memiliki jumlah titik yang terbatas. Perumusan metode elemen hingga dari masalah nilai batas pada akhirnya menghasilkan sistem persamaan aljabar. Metode ini memperkirakan fungsi yang tidak diketahui pada domain. Persamaan sederhana yang memodelkan elemen-elemen hingga ini kemudian dirangkai menjadi sistem persamaan yang lebih besar yang memodelkan keseluruhan masalah. FEM kemudian mendekati solusi dengan meminimalkan fungsi kesalahan yang terkait melalui kalkulus variasi Mempelajari atau menganalisis fenomena dengan FEM sering disebut sebagai analisis elemen hingga (FEA).
Sejarah
Meskipun sulit untuk mengutip tanggal penemuan metode elemen hingga, metode ini berasal dari kebutuhan untuk menyelesaikan masalah elastisitas dan analisis struktural yang kompleks dalam teknik sipil dan penerbangan. Perkembangannya dapat ditelusuri kembali ke karya Alexander Hrennikoff dan Richard Courant pada awal 1940-an. Pelopor lainnya adalah Ioannis Argyris. Di Uni Soviet, pengenalan aplikasi praktis dari metode ini biasanya dihubungkan dengan nama Leonard Oganesyan. Metode ini juga ditemukan kembali secara independen di Tiongkok oleh Feng Kang pada akhir 1950-an dan awal 1960-an, berdasarkan perhitungan konstruksi bendungan, yang kemudian disebut metode beda hingga berdasarkan prinsip variasi. Meskipun pendekatan yang digunakan oleh para pionir ini berbeda, mereka memiliki satu karakteristik penting: diskritisasi mesh dari domain kontinu ke dalam satu set sub-domain diskrit, yang biasanya disebut elemen.
Karya Hrennikoff mendiskritisasi domain dengan menggunakan analogi kisi, sedangkan pendekatan Courant membagi domain menjadi sub-domain segitiga berhingga untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial eliptik orde dua yang muncul dari masalah torsi silinder. Kontribusi Courant bersifat evolusioner, mengacu pada sejumlah besar hasil sebelumnya untuk PDE yang dikembangkan oleh Lord Rayleigh, Walther Ritz, dan Boris Galerkin.
Metode elemen hingga memperoleh dorongan nyata pada tahun 1960-an dan 1970-an oleh perkembangan J. H. Argyris dengan rekan kerjanya di Universitas Stuttgart, R. W. Clough dengan rekan kerjanya di UC Berkeley, O. C. Zienkiewicz dengan rekan kerjanya Ernest Hinton, Bruce Irons dan lainnya di Universitas Swansea, Philippe G. Ciarlet di Universitas Paris 6 dan Richard Gallagher dengan rekan kerjanya di Universitas Cornell. Dorongan lebih lanjut diberikan pada tahun-tahun ini oleh program elemen hingga sumber terbuka yang tersedia. NASA mensponsori versi asli NASTRAN. UC Berkeley membuat program elemen hingga SAP IV dan kemudian OpenSees tersedia secara luas. Di Norwegia, masyarakat klasifikasi kapal Det Norske Veritas (sekarang DNV GL) mengembangkan Sesam pada tahun 1969 untuk digunakan dalam analisis kapal. Dasar matematis yang ketat untuk metode elemen hingga diberikan pada tahun 1973 dengan publikasi oleh Gilbert Strang dan George Fix. Metode ini telah digeneralisasikan untuk pemodelan numerik sistem fisik di berbagai disiplin ilmu teknik, misalnya, elektromagnetisme, perpindahan panas, dan dinamika fluida.
Metode elemen hingga dan transformasi fourier cepat (FFT)
Metode lain yang digunakan untuk memperkirakan solusi persamaan diferensial parsial adalah Fast Fourier Transform (FFT), di mana solusinya didekati dengan deret fourier yang dihitung menggunakan FFT. Untuk memperkirakan respons mekanis material di bawah tekanan, FFT sering kali jauh lebih cepat, tetapi FEM mungkin lebih akurat. Salah satu contoh keunggulan masing-masing dari kedua metode ini adalah dalam simulasi penggulungan lembaran aluminium (logam FCC), dan penarikan kawat tungsten (logam BCC). Simulasi ini tidak memiliki algoritme pembaruan bentuk yang canggih untuk metode FFT. Dalam kedua kasus tersebut, metode FFt lebih dari 10 kali lebih cepat daripada FEM, tetapi dalam simulasi penarikan kawat, di mana terdapat deformasi yang besar pada butiran, metode FEM jauh lebih akurat. Dalam simulasi penggulungan lembaran, hasil dari kedua metode tersebut serupa. FFT memiliki keunggulan kecepatan yang lebih besar dalam kasus-kasus di mana kondisi batas diberikan dalam regangan material, dan kehilangan sebagian efisiensinya dalam kasus-kasus di mana tegangan digunakan untuk menerapkan kondisi batas, karena lebih banyak iterasi metode yang diperlukan.
Metode FE dan FFT juga dapat dikombinasikan dalam metode berbasis voxel (2) untuk mensimulasikan deformasi pada material, di mana metode FE digunakan untuk tegangan dan deformasi skala makro, dan metode FFT digunakan pada skala mikro untuk menangani efek skala mikro pada respon mekanis. Tidak seperti FEM, kemiripan metode FFT dengan metode image processing berarti bahwa gambar aktual struktur mikro dari mikroskop dapat dimasukkan ke solver untuk mendapatkan respon tegangan yang lebih akurat. Menggunakan gambar nyata dengan FFT menghindari meshing struktur mikro, yang akan diperlukan jika menggunakan simulasi FEM untuk struktur mikro, dan mungkin sulit dilakukan. Karena pendekatan fourier secara inheren bersifat periodik, FFT hanya dapat digunakan dalam kasus struktur mikro periodik, tetapi hal ini umum terjadi pada material nyata. FFT juga dapat digabungkan dengan metode FEM dengan menggunakan komponen fourier sebagai dasar variasi untuk memperkirakan medan di dalam elemen, yang dapat memanfaatkan kecepatan solver berbasis FFT.
Aplikasi
Berbagai spesialisasi di bawah payung disiplin ilmu teknik mesin (seperti industri aeronautika, biomekanik, dan otomotif) umumnya menggunakan FEM terintegrasi dalam desain dan pengembangan produk mereka. Beberapa paket FEM modern menyertakan komponen-komponen spesifik seperti lingkungan kerja termal, elektromagnetik, fluida, dan struktural. Dalam simulasi struktural, FEM sangat membantu dalam menghasilkan visualisasi kekakuan dan kekuatan serta meminimalkan berat, material, dan biaya.
FEM memungkinkan visualisasi detail di mana struktur membengkok atau terpuntir, yang mengindikasikan distribusi tegangan dan perpindahan. Perangkat lunak FEM menyediakan berbagai pilihan simulasi untuk mengendalikan kompleksitas pemodelan dan analisis sistem. Demikian pula, tingkat akurasi yang diinginkan dan kebutuhan waktu komputasi terkait dapat dikelola secara bersamaan untuk menangani sebagian besar aplikasi teknik. FEM memungkinkan seluruh desain dibangun, disempurnakan, dan dioptimalkan sebelum desain diproduksi. Mesh merupakan bagian integral dari model dan harus dikontrol dengan hati-hati untuk memberikan hasil terbaik. Secara umum, semakin tinggi jumlah elemen dalam mesh, semakin akurat solusi dari masalah yang didiskritisasi. Namun, ada nilai di mana hasilnya menyatu, dan penyempurnaan mesh lebih lanjut tidak meningkatkan akurasi.
Alat desain yang kuat ini telah secara signifikan meningkatkan standar desain teknik dan metodologi proses desain di banyak aplikasi industri. Pengenalan FEM secara substansial telah mengurangi waktu untuk membawa produk dari konsep ke lini produksi. Pengujian dan pengembangan telah dipercepat terutama melalui desain prototipe awal yang lebih baik dengan menggunakan FEM. Singkatnya, manfaat FEM termasuk peningkatan akurasi, desain yang ditingkatkan dan wawasan yang lebih baik tentang parameter desain kritis, pembuatan prototipe virtual, prototipe perangkat keras yang lebih sedikit, siklus desain yang lebih cepat dan lebih murah, peningkatan produktivitas, dan peningkatan pendapatan. Pada tahun 1990-an, FEM diusulkan untuk digunakan dalam pemodelan stokastik untuk menyelesaikan model probabilitas secara numerik dan kemudian untuk penilaian keandalan.
Disadur dari: en.wikipedia.org